$\int \frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{\sqrt{f\left(x\right)}}dx=$কত?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ইন্টিগ্রেশনটি হলো:

\[ \int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} dx \]

এই ইন্টিগ্রেশনটি সমাধান করার জন্য আমরা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (substitution method) ব্যবহার করব।

ধরি, \(u = f(x)\)

এখন, \(u\) কে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করি:

\[ \frac{du}{dx} = f'(x) \]

বা,

\[ du = f'(x) dx \]

এখন, ইন্টিগ্রালে \(f(x)\) এর জায়গায় \(u\) এবং \(f'(x) dx\) এর জায়গায় \(du\) বসিয়ে পাই:

\[ \int \frac{du}{\sqrt{u}} \]

এটি লেখা যেতে পারে:

\[ \int u^{-1/2} du \]

এখন, ইন্টিগ্রেশনের সাধারণ সূত্র \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) ব্যবহার করে পাই:

\[ \frac{u^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C \]

\[ = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C \]

\[ = 2u^{1/2} + C \]

\[ = 2\sqrt{u} + C \]

এখন, \(u = f(x)\) প্রতিস্থাপন করে পাই:

\[ = 2\sqrt{f(x)} + C \]

যেখানে \(C\) হলো সমাকলন ধ্রুবক (integration constant)।

সুতরাং, \(\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} dx = 2\sqrt{f(x)} + C\)।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

যদি ইন্টিগ্রালের ফর্মটি \(\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} dx\) হয়, তবে এর সরাসরি সমাধান হলো \(2\sqrt{f(x)} + C\)। এটি একটি পরিচিত প্যাটার্ন যা মনে রেখে দ্রুত সমাধান করা যায়।